要监控Linux DNS服务器的运行状态，您可以使用以下方法：

使用systemctl命令检查DNS服务状态：

sudo systemctl status named

如果DNS服务正在运行，您将看到类似以下的输出：

● named.service - Berkeley Internet Name Domain (DNS) serverLoaded: loaded (/usr/lib/systemd/system/named.service; enabled; vendor preset: enabled)Active: active (running) since Mon 2021-06-21 10:00:00 UTC; 1h 30min ago

使用netstat命令检查DNS服务监听的端口：

sudo netstat -tuln | grep 53

如果DNS服务正在运行，您将看到类似以下的输出：

tcp00 0.0.0.0:530.0.0.0:* LISTEN

使用ps命令检查DNS服务进程：

ps aux | grep named

如果DNS服务正在运行，您将看到类似以下的输出：

root12340.00.16876 12345 ?Ss Jun21 0:00 named -u named -f /etc/named.conf

使用named-checkzone命令检查DNS区域文件配置是否正确：

sudo named-checkzone example.com /etc/named.conf.options

如果配置正确，您将看到类似以下的输出：

zone "example.com" {type master;file "/etc/named.conf.options";};

使用named-checkconf命令检查DNS配置文件是否有语法错误：

sudo named-checkconf /etc/named.conf

如果没有错误，您将看到类似以下的输出：

configuration file /etc/named.conf is valid

使用dig命令测试DNS解析功能：

dig example.com @localhost

如果解析成功，您将看到类似以下的输出：

; <<>> DiG 9.11.4-P2-Debian <<>> example.com @localhost;; global options: +noall +answer +noask +verbose +noall +answer +noask +verbose;; request: example.com;; response:;; status: 0 0 NOERROR;; messages:;;; <<>> DiG 9.11.4-P2-Debian <<>> example.com @localhost;;;; global options: +noall +answer +noask +verbose +noall +answer +noask +verbose;;;; request: example.com;;;; response:;;;; status: 0 0 NOERROR;;;; messages:;;answer: 93.184.216.34;;ttl: 512;;primary: ns1.example.com;;mail exchanger: mail.example.com

通过以上方法，您可以监控Linux DNS服务器的运行状态并确保其正常工作。