在Ubuntu系统中，优化PHP-FPM与MySQL的连接可以通过以下几个方面来实现：

选择合适的PHP MySQL扩展：选择高性能的PHP MySQL扩展，如mysqli或PDO。这些扩展提供了预处理语句和持久连接等功能，可以提高数据库操作的性能。

使用持久连接：持久连接可以减少每次请求时建立和关闭连接的开销。在PHP代码中，可以通过设置mysqli或PDO连接字符串来实现持久连接。例如，对于mysqli，可以使用 mysqli_connect('p:localhost', 'username', 'password', 'database')；对于PDO，可以使用 new PDO('mysql:host=localhost;dbname=database;charset=utf8', 'username', 'password', array(PDO::ATTR_PERSISTENT => true))。

优化MySQL配置：根据服务器的硬件资源和应用程序的需求，优化MySQL的配置文件（通常是 /etc/mysql/my.cnf 或 /etc/mysql/mysql.conf.d/mysqld.cnf）。主要关注以下几个参数：

innodb_buffer_pool_size：设置为服务器总内存的50%-70%，以便为InnoDB存储引擎提供足够的内存。max_connections：根据应用程序的并发需求，设置合适的最大连接数。query_cache_size 和 query_cache_type：启用查询缓存以提高查询性能。但请注意，在高并发写入场景下，查询缓存可能会导致性能下降。slow_query_log 和 long_query_time：启用慢查询日志，以便发现并优化执行缓慢的SQL语句。

优化PHP代码：遵循最佳实践，编写高效的PHP代码。主要关注以下几点：

使用预处理语句和绑定参数，以防止SQL注入攻击并提高查询性能。减少不必要的数据库查询，尽量在一次查询中获取所需的所有数据。使用事务来处理多个相关的数据库操作，以提高性能并确保数据一致性。关闭不再使用的数据库连接，以释放资源。

调整PHP-FPM配置：编辑PHP-FPM配置文件（通常位于 /etc/php/7.x/fpm/pool.d/www.conf），调整以下参数：

pm.max_children：设置最大子进程数，根据服务器的内存和应用程序的需求进行调整。pm.start_servers：设置启动时的服务器进程数，可以根据服务器的负载进行调整。pm.min_spare_servers 和 pm.max_spare_servers：设置空闲进程的最小和最大数量，可以根据服务器的负载进行调整。

使用连接池：可以考虑使用连接池来管理数据库连接，例如使用php-mysqlnd-ms扩展。连接池可以在应用程序启动时创建一定数量的数据库连接，并在需要时分配给应用程序使用，从而减少连接的创建和关闭开销。

监控和调优：定期监控PHP-FPM和MySQL的性能指标，如响应时间、吞吐量和错误率。根据监控结果，调整配置参数和优化代码，以实现更高的性能。

通过以上步骤，可以在Ubuntu系统中实现PHP-FPM与MySQL的高效连接和性能优化。