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高斯消元解异或方程组
小Ho在游戏板上忙碌了30分钟，任然没有办法完成，于是他只好求助于小Hi。
小Ho：小Hi，这次又该怎么办呢？
小Hi：让我们来分析一下吧。
首先对于每一个格子的状态，可能会对它造成影响的是其自身和周围4个格子，这五个格子被按下的总次数也就等于该格子所改变的总次数。
对于任意一个格子，如果这个格子改变了偶数次状态，则等价于没有发生改变。
我们可以将1看作格子亮着，0看作格子暗着，每改变1次就加1，最后格子的状态等于其总数值 MOD 2。
则其运算结果刚好满足异或运算，即每改变一次等于状态值 xor 1。
同样的对于一个格子和它周围的4个格子来说，若格子被按下偶数次，它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道：任意一个格子至多被按下一次。
假设有数组x[1..30]，分别表示这30个格子是否按下1次，若按下则x[i]=1，否则x[i]=0。
则对于1个格子，他最后的状态为：
当前状态 = 初始状态 xor (a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30])其中a[i]表示格子i是否会对当前格子产生影响，若能够则a[i] = 1，否则a[i] = 0
对方程进行变换有：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 当前状态 xor 初始状态因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态，故我们需要让 当前状态 = 1，则：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 1 xor 初始状态不妨设y = 1 xor 初始状态：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = y对于所有的格子，我们可以连立出方程组：
(a[ 1][1] * x[1]) xor (a[ 1][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 1][30] * x[30]) = y[ 1] (a[ 2][1] * x[1]) xor (a[ 2][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 2][30] * x[30]) = y[ 2] ... (a[30][1] * x[1]) xor (a[30][2] * x[2]) xor ... xor (a[30][30] * x[30]) = y[30]到此，我们的目标就是求出一个x[1..30]，使得上面的方程组成立。
小Ho：这个看上去和高斯消元很像啊。
小Hi：没错，这个方程组叫异或方程组，它可以用和高斯消元同样的方法来解决。
其解答过程几乎和高斯消元无异，判定无解和多解的方式也相同。唯一需要注意的是消元过程不再是高斯消元的加减，而是通过xor运算来进行消元。比如消除第j行第i列的1：
a[j][k] = a[j][k] xor a[i][k], y[j] = y[j] xor y[i]其原理是：
(a[j][1] * x[1]) xor (a[j][2] * x[2]) xor ... xor (a[j][30] * x[30]) xor (a[i][1] * x[1]) xor (a[i][2] * x[2]) xor ... xor (a[ i][30] * x[30]) = y[j] xor y[i] <=> ((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1])) xor (((a[j][2] * x[2]) xor (a[i][2] * x[2]))) xor ... xor ((a[j][30] * x[30]) xor (a[i][30] * x[30])) = y[j] xor y[i]<=> ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2]) * x[2]) xor ... ((a[j][30] xor a[i][30]) * x[30]) = y[j] xor y[i]而且由于给定游戏板是固定的，我们可以知道a[i][j]矩阵一定是固定的，而且通过计算可以知道我们消元得到的上三角矩阵也是固定的，并且在这一次的问题中该上三角矩阵是满秩的，所以其一定存在唯一解。
所以我们一定有办法完成这个游戏。
小Ho：我明白了，我这就去写程序，这奖品我拿定了！
#include <cmath> #include <cstdio> #include <iostream> #define N 35 #define D(x, y) (((x) 1) * 6 + (y)) using namespace std; int ans; int a[N][N]; char s[N][N]; inline void Guass() for(i = 30; i >= 1; i) } int main() } Guass(); printf("%d\n", ans); for(i = 1; i <= 5; i++) for(j = 1; j <= 6; j++) if(a[D(i, j)][31]) printf("%d %d\n", i, j); return 0; }
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